Оптимальные решения планиметрических задач

Дан треугольник АВС и точка М. Прямая, проходящая через М, пересекает прямые АВ, ВС и CA соответственно в точках C₁, A₁и B₁. Прямые АМ, ВМ и СМ пересекают окружность, описанную около треугольника АВС, соответственно в точках A₂, B₂и C₂. Доказать, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке, расположенной на окружности, описанной около ▲АВС.

Решение.
Пусть N — точка пересечения прямой A₁A₂ с окружностью, отличная от A₂. Применим к шестиугольнику АВСC₂NA₂теорему Паскаля как в этой задаче. Точки пересечения прямых АВ и C₂N, ВС и NA₂(точка A₁), СC₂и АA₂ (точка М) лежат на одной прямой. Следовательно, АВ и C₂N пересекаются в точке C₁.