Оптимальные решения планиметрических задач

Через точку пересечения высот треугольника проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Нужно доказать, что середины отрезков, высекаемых этими прямыми на сторонах треугольника лежат на одной прямой.

Решение.
Пусть данные взаимно перпендикулярные прямые – оси х и у прямоугольной системы координат. Тогда высоты треугольника лежат на прямых у = kˌ (i= 1,2,3); стороны треугольника при этом должны иметь угловые коэффициенты -(1/ kˌ ), ), а из условия принадлежности вершин (хˌˌ, уˌ) высотам находим отношения свободных членов сˌ в уравнениях сторон kуˌ + х = сˌ ; с₁ = к₁у3 + х3, с2 = к2у3 + х3 , у3 = к3×3
следовательно:
С1/С2=(K1K3+1)/(K2K3=1)

Точки пересечения прямой kiy + x=ki/(ki+k) с осями (О, 1/(ki+k)) и (ki/(ki+k) , О). Середина Pi отрезка между ними – (ki/2(ki+k), 1/2(ki+k)).

Угловой коэффициент прямой P1P2 равен (1/2(k2+k) – 1/2(k1+k)):(k2/2(k2+k) – k1/2(k1+k))=1/k.

Точно такими же будут угловые коэффициенты и других прямых, P2P3 и P3P1, поэтому точки P1, P2, P3 лежат на одной прямой.