Оптимальные решения планиметрических задач

Имеем некий треугольник. Необходимо найти геометрическое место центров всевозможных прямоугольников, описанных около данного треугольника. Дополнительное условие, что одна вер­шина треугольника совпадает с вершиной прямоугольника, а две другие лежат на двух, не содержащих этой вершины, сто­ронах прямоугольника.

Решение

Пусть АВС (рис. 1) — данный треугольник и вершина описанно­го прямоугольника АКLМ совпадает с точкой А, тогда точка L  принадлежит полуокружности с диаметром ВС, причем углы АВL и АСL тупые. Таким образом  L может иметь два крайних положения: L1 и L2, угол L1CA будет равняться углу L2BA и будет равен = 90°.  Центр О будет описывать дугу, гомотетич­ную дуге L1L2, с центром гомотетии в точке А и коэффициентом 1/2.  Таким образом,  если  треугольник  остроугольный, то  искомое  множество есть криволинейный треугольник, образованный дугами полуокружностей, построенных на средних линиях как на диаметрах и обращенных внутрь треугольника из средних линий, а если же треугольник не остроугольный, то искомое множество состоит из двух дуг полуокруж­ностей, построенных таким же образом на двух меньших средних линиях.