<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?><!-- generator="WordPress/2.9.2" -->
<rss version="0.92">
<channel>
	<title>Оптимальные решения планиметрических задач &#124; Блог Нефедова</title>
	<link>http://www.prozadachi.com</link>
	<description>Описание вашего блога</description>
	<lastBuildDate>Thu, 17 Feb 2011 16:33:29 +0000</lastBuildDate>
	<docs>http://backend.userland.com/rss092</docs>
	<language>en</language>
	
	<item>
		<title>Геометрическое место точек B.</title>
		<description><![CDATA[Даны две точки А и I. Найти геометрическое место точек В таких, что существует треугольник АВС с центром вписанного круга в точке I, все углы которого меньше 60°  и одновременно больше 90°.
Решение

Если А, В, С &#8211;  углы нашего треугольника  АВС, то углы  треугольника ABI равны A/2, B/2, 90° + C/2 (рис. [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/geopb.html</link>
			</item>
	<item>
		<title>Геометрическое место точек описанных прямоугольников.</title>
		<description><![CDATA[Имеем некий треугольник. Необходимо найти геометрическое место центров всевозможных прямоугольников, описанных около данного треугольника. Дополнительное условие, что одна вер­шина треугольника совпадает с вершиной прямоугольника, а две другие лежат на двух, не содержащих этой вершины, сто­ронах прямоугольника.
Решение

Пусть АВС (рис. 1) — данный треугольник и вершина описанно­го прямоугольника АКLМ совпадает с точкой А, тогда точка L  принадлежит [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/geopointopisprymoug.html</link>
			</item>
	<item>
		<title>Точка пересечения высот и две прямые.</title>
		<description><![CDATA[Через точку пересечения высот треугольника проведены две взаимно перпендикулярные прямые.  Нужно доказать, что середины отрезков, высекаемых этими прямыми на сторонах треугольника лежат на одной прямой.
Решение.
Пусть данные взаимно перпендикулярные прямые &#8211; оси х и у прямоугольной системы координат. Тогда высоты треугольника лежат на  прямых   у = kˌ    (i= 1,2,3); [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/pointandtooprym.html</link>
			</item>
	<item>
		<title>Треугольник (формула Паскаля).</title>
		<description><![CDATA[Дан треугольник АВС и точка М. Прямая, проходящая через М, пересекает прямые АВ, ВС и CA соответственно в точках C₁,  A₁и B₁.  Прямые АМ, ВМ и СМ пересекают окружность, описанную около треугольника АВС, соответственно в точках A₂, B₂и C₂. Доказать, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке, расположенной на окружности, [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/treugpaskal.html</link>
			</item>
	<item>
		<title>Четырехугольник, треугольник и окружности.</title>
		<description><![CDATA[Четырехугольник АВСD вписан в окружность, О1 02, 03, 04 &#8211; центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDА, DАВ, а H1, H2, H3, H4 &#8211; точки пересечения высот тех же треугольников. Доказать, что O1O2O3O4 &#8211; прямоугольник.
Решение.
Поскольку О1 &#8211; центр окружности, вписанной в треугольник ABC, то угол BO1A=90° + 1/2(BCA). Значит BO1A=BO4A и четырехугольник ABO1O4 является [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/chetirtreokru.html</link>
			</item>
	<item>
		<title>Вершины вписанного четырехугольника.</title>
		<description><![CDATA[В этой задаче требуется доказать, что четыре прямые, каждая из которых проходит через основания двух перпендикуляров, опущенных из вершины вписанного четырехугольника на не содержащие ее стороны, пересекаются в одной точке.
Решение.
Пусть АВСD &#8211; данный четырехугольник. Предположим, что углы А и D тупые, а В и С острые. Обозначим основания перпендикуляров, опущенных из вершины А, через М [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/verchinivpischet.html</link>
			</item>
	<item>
		<title>вписанный шестиугольник.</title>
		<description><![CDATA[Пусть дан некий вписанный шестиугольник АВСDEF. Обозначим через К точку пересечения АС и ВF, а через L &#8211; точку пересечения СЕ и FD. Требуется доказать, что диагонали АD, ВЕ и прямая КL пересекаются в одной точке.
Решение.
Пусть М &#8211; точка пересечения AD и КL. Т.к. синусы вписанных углов пропорциональны хордам, имеем:
(&#124;KM&#124;)/(&#124;ML&#124;)=S_AKD/S_ALD =(1/2 &#124;AK&#124;•&#124;AD&#124;sinKAD)/(1/2 &#124;DL&#124;•&#124;AD&#124;sinADL)=(&#124;AK&#124;•&#124;CD&#124;)/(&#124;DL&#124;•&#124;AF&#124;
Точно также и [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/vpisshestiugol.html</link>
			</item>
	<item>
		<title>Треугольник, стороны которого диагонали параллелограммов.</title>
		<description><![CDATA[Имеем некий треугольник, стороны которого являются диагоналями трех параллелограммов. Стороны этих параллелограммов параллельны двум прямым l и р.  Необходимо доказать, что три диагонали этих параллелограммов, отличные от сторон треугольника, пересекаются в одной точке М. Найти геометрическое место точек М, если l и p &#8211; две произвольные взаимно перпендикулярные прямые.
Решение
Объединение трех построенных параллелограммов будет предста
влять [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/trdiagparalelogr.html</link>
			</item>
	<item>
		<title>Выпуклый четырехугольник, треугольники и окружности.</title>
		<description><![CDATA[В выпуклом четырехугольнике проведены диагонали, которые разбивают его на четыре треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Доказать, что данный четырехугольник &#8211; ромб.
Решение
Вначале докажем, что диагонали данного четырехугольника делятся в точке пересечения пополам и наш четырехугольник является параллелограмм. Пусть ABCD &#8211; данный четырехугольник, О &#8211; точка пересечения диагоналей. Допустим, что &#124;ВО&#124; ˂ &#124;OD&#124;, &#124;AО&#124; [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/vipuklchetrtreugokr.html</link>
			</item>
	<item>
		<title>Квадрат ABCD и прямые.</title>
		<description><![CDATA[На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD взяты две точки М и N так, что &#124;ВМ&#124;+&#124;BN&#124;=&#124;AB&#124;. Нужно доказать, что прямые DM и DN делят диагональ АС на три отрезка, из которых можно сложить треугольник, причем один угол этого треугольника равен 60°.
Решение
Здесь все довольно просто.
Пусть &#124;AM&#124;=x, &#124;CN&#124;=у, х+у=а, где а- сторона квадрата.
Обозначим через Е и F [...]]]></description>
		<link>http://www.prozadachi.com/kvadrat122.html</link>
			</item>
</channel>
</rss>

