Оптимальные решения планиметрических задач

Четырехугольник АВСD вписан в окружность, О1 02, 03, 04 – центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDА, DАВ, а H1, H2, H3, H4 – точки пересечения высот тех же треугольников. Доказать, что O1O2O3O4 – прямоугольник.

Решение.
Поскольку О1 – центр окружности, вписанной в треугольник ABC, то угол BO1A=90° + 1/2(BCA). Значит BO1A=BO4A и четырехугольник ABO1O4 является вписанным (см. рис.).

Следовательно, смежный угол с BO1O4 равен BAO4=1/2BAD. Аналогично, угол, смежный с BO1O2 равен 1/2BCD. Но! 1/2(BAD + BCD)=90°, значит O4O1O2 = 90°.