Оптимальные решения планиметрических задач

Внутри треугольника взята точка M так, что существует некая прямая l, проходящая через М и разбивающая данный треугольник на две части таким образом, что при симметрии относительно точки l одна часть оказывается внутри или на границе другой. Найти геометрическое место точек M.

Решение
Заметим, что если через точку М проходит какая-либо прямая l, обладающая указанным в условии свойством, то существует либо прямая l₁проходящая через точку М и какую-либо вершину треугольника, или прямая l₂, проходящая через М перпендикулярно какой-либо стороне треугольника и обладающая этим же свойством. В самом деле. Пусть прямая l пересекает стороны АВ и СВ треугольника ABC в точках C₀ и A₀ и точка B₁симметричная В относительно l, внутри треугольника ABC. Будем вращать l вокруг М так, чтобы B₁приближалась по дуге соответствующей окружности к АВ или ВС до тех пор, пока точка C₀ или B₀ не совпадет с вершиной С или А или B₁не попадет на соответствующую сторону. Обозначим через α множество точек нашего треугольника, расположенных внутри четырехугольника, ограниченного биссектрисами к меньшей и большей стороне треугольника и перпендикулярами, восставленными к меньшей и большей стороне в их серединах. Если данный треугольник равнобедренный, то α – пусто. Во всех остальных случаях α – четырехугольник или пятиугольник. Таким образом искомое геометрическое место точек состоит из всех точек треугольника, исключая внутренние точки α.

Еще одна задача с таким же условием как было здесь с той лишь разницей что здесь нужно доказать тип треугольника в зависимости от того, будет ли его полупериметр соответственно больше, равен или меньше суммы диаметра описанного круга и радиуса вписанного круга.

Итак, решение.
Выразим R и r формулами R=abc/4S r=S/p и воспользуемся формулой Герона и равенством 4S²(p – abc/2S- S/p ) (p + abc/2S + S/p ) = 1/8(a² + b² – c²)( a² – b² + c²)(- a² + b² + c²)

В задаче требуется доказать, что треугольник будет остроугольным, пря-моугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли выражение a² + b² + c² – 8R² больше нуля, равно нулю или меньше нуля, где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанного круга.

Решение
Рассмотрим такой вариант, пусть с – наибольшая сторона, противолежащая вершине С.
Если a² + b² + c² – 8R² > 0, то a² + b² > 8R² – c² ≥ c² потому что с ≤ 2R таким образом треугольник остроугольный. Теперь обратно, пусть треугольник остроугольный; тогда a² + b² + c² = 2m² + 3/2 c², где m – медиана к стороне c, таким образом имеем, что чем меньше медиана, тем меньше a² + b² + c². Но, медиана принимает свое максимальное значение в том случае если C – середина дуги и будет уменьшаться при перемещении C по дуге. А когда треугольник стане прямоугольным то a² + b² + c² – 8R² будет равняться 0.
Что и требовалось доказать.

В треугольнике АВС АА₁ – высота, Н- точка пересечения высот. Пусть Р – произвольная точка окружности, описанной около треугольника АВС, М – точка на прямой НР такая, что |НР|х|НМ|=|НА₁|х|НА|, (точка Н лежит на отрезке МР если треугольник АВС – остроугольный и вне его,  если он – тупоугольный). Доказать, что М лежит на окружности девяти точек треугольника АВС.

Решение.
Пусть М₀ – середина НР, А₀ – середина НА. А₀, А₁ и М₀ лежат на окружноси девяти точек. Следовательно, М также лежит на этой окружности, поскольку из условия задачи следует равенство |М₀Н|х|НМ|=|А₀Н|х|НА₁| и Н одновременно или внутри или вне каждого из отрезков М₀М и А₀А₁.

У произвольного треугольника ABC все углы меньше 120°.  Нужно доказать, что сумма расстояний от произвольной точки до вершин этого треугольника принимает наименьшее значение для такой точки внутри него, из которой каждая сторона треугольника видна под углом 120°.

Решение.

Допустим что некая точка М лежит внутри данного треугольника ABC. Повернем треугольник вокруг точки А на 60° во внешнюю по отношению к исходному треугольнику сторону. При этом точка С перейдет в С₁, а точка М в точку М₁. Сумма |AM|+|BM|+|CM|будет равно ломанной BMM₁C. Наименьшей же эта ломанная будет, когда точки М и М₁ лежат на отрезке ВС₁.

Данн треугольник АВС, через основания его биссектрис проведена окружность. Требуется доказать что одна из хорд, образованных при пересечении данной окружности со сторонами треугольника, равна сумме двух других.

Решение

Произведение длин отрезков от вершины А треугольника АВС до точек пересечения стороны АВ с данной окружностью будет равно такому же произведению для стороны АС.  Любой из этих отрезков можно выразить через стороны треугольника и хорды. В итоге получим систему из трех уравнений выражающую хорды ччерез стороны треугольника.

В задаче требуется найти геометрическое место точек М, расположенных внутри треугольника таким образом что растояния от М до сторон труегольника равны сторонам другого треугольника.

Решение.

Из определения треугольника следует что для того чтобы расстояния х, у, z были сторонами треуголь­ника, необходимо выполнения неравенств x<y+z, y<x+z, z<x+y. Но, множество точек, для которых например x=y+z это отрезок с концами в основаниях биссектрис.  Отсюда получаем, что искомое геометрическое место состоит из точек, расположенных внутри треугольника с вершинами в основаниях биссектрис.

Сегодня прислали довольно интересную задачу. Ниже приведу условия, а ближе к вечеру подумаю над решением.

Данн треугольник, вписанный в окружность. Требуется доказать что радиус окружности, описанной около треугольника стороны кторого являются медианами некоего остроугольно треугольника, больше 5/6 радиуса окружности, описанной вокруг исходного треугольника.

Решение.

Исходя из того, что площадь треугольника, составленного из медиан другого треугольника,  составляет 3/4 площади исходного треугольни­ка, а для любого треугольника аЬс = 4RS, то нам нужно попытаться  доказать, что для остроугольного треугольника  будет справедливо следующее неравенство  

Для удобства вычислений, примем одну сторону, как 2d, а медиану к этой стороне как m.
Исходя из того что треугольник остроугольный, то имеем что m>d.
Обозначим как t косинус угла, образованного этой медианой со стороной 2d.
Следующим шагом выразим стороны и медианы через d, m, t и подставив полученные выражения в первое неравенство для остроугольного треугольника получим
Левую часть приведем к .
Если m>d то это выражение положительно.
Если m=d то левая часть будет больше или равна правой.
Если то правая часть неравенства отрицательна и оно (неравенство) будет выполняться.
Далее повторяем подобные действия и в отношении другой стороны треугольника и в итоге доказываем, что для любых остроугольных треугольников неравенство справедливо.

Данн треугольник  ABC с углом при вершине B 60°. Биссектриса угла при вершине А пересекает сторону BC в точке М. На стороне АС существует точка К, при этом угол AMK=30°.  требуется найти величину угла OKC, где точка О - это центр окружности, описанной около треугольника АВС.

решаем

Для начала докажем что биссектриса BD угла ANC и биссектриса AC угла BMD эквивалентны следующему равенству |AB|х|СD|=|AD|x|BC|. На дуге BAD возьмем точку А₁ таким образом что бы |DA₁|=|AB|. Условие задачи эквивалентно тому, что прямая A₁С проходит через середину ВD (точка N) т.е. равенству площадей треугольников DA₁C  и  A₁BC, следовательно |DA₁|x|DC|=|BA₁|x|BC|,  т.е. |AB|x|CD|=|AD|x|BC|

А вот и первая интерсная задачка:

Дан треугольник ABC, в него вписана окружность, которая делит медиану BM на три равные части. Нужно найти отношение отрезков |BC| : |CA| : |AB|

решаем:

Обозначим величину отрезков медианы как а, меньший из отрезков, на которые разделена сторона точкой касания соответствующей медиане обозначим как х. После этого все стороны нашего треугольника можно выразить через выше принятые переменные следующим образом:  стороны, заключающие медиану как  ,   третья сторона  
Теперь применям формулу для вычисления длины медианы и получаем на выходе     отсюда получаем что  и как результат искомое отношение 10:5:13