Оптимальные решения планиметрических задач

Через точку пересечения высот треугольника проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Нужно доказать, что середины отрезков, высекаемых этими прямыми на сторонах треугольника лежат на одной прямой.

Решение.
Пусть данные взаимно перпендикулярные прямые – оси х и у прямоугольной системы координат. Тогда высоты треугольника лежат на прямых у = kˌ (i= 1,2,3); стороны треугольника при этом должны иметь угловые коэффициенты -(1/ kˌ ), ), а из условия принадлежности вершин (хˌˌ, уˌ) высотам находим отношения свободных членов сˌ в уравнениях сторон kуˌ + х = сˌ ; с₁ = к₁у3 + х3, с2 = к2у3 + х3 , у3 = к3×3
следовательно:
С1/С2=(K1K3+1)/(K2K3=1)

Точки пересечения прямой kiy + x=ki/(ki+k) с осями (О, 1/(ki+k)) и (ki/(ki+k) , О). Середина Pi отрезка между ними – (ki/2(ki+k), 1/2(ki+k)).

Угловой коэффициент прямой P1P2 равен (1/2(k2+k) – 1/2(k1+k)):(k2/2(k2+k) – k1/2(k1+k))=1/k.

Точно такими же будут угловые коэффициенты и других прямых, P2P3 и P3P1, поэтому точки P1, P2, P3 лежат на одной прямой.

Дан треугольник АВС и точка М. Прямая, проходящая через М, пересекает прямые АВ, ВС и CA соответственно в точках C₁, A₁и B₁. Прямые АМ, ВМ и СМ пересекают окружность, описанную около треугольника АВС, соответственно в точках A₂, B₂и C₂. Доказать, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке, расположенной на окружности, описанной около ▲АВС.

Решение.
Пусть N — точка пересечения прямой A₁A₂ с окружностью, отличная от A₂. Применим к шестиугольнику АВСC₂NA₂теорему Паскаля как в этой задаче. Точки пересечения прямых АВ и C₂N, ВС и NA₂(точка A₁), СC₂и АA₂ (точка М) лежат на одной прямой. Следовательно, АВ и C₂N пересекаются в точке C₁.

Имеем некий треугольник, стороны которого являются диагоналями трех параллелограммов. Стороны этих параллелограммов параллельны двум прямым l и р. Необходимо доказать, что три диагонали этих параллелограммов, отличные от сторон треугольника, пересекаются в одной точке М. Найти геометрическое место точек М, если l и p – две произвольные взаимно перпендикулярные прямые.

Решение
Объединение трех построенных параллелограммов будет предста
влять собой параллелограмм, описанный около данного треугольника,
разделенный на четыре меньших. Можно выразить отношения, в которых каждая из рассматриваемых диагоналей делится другой диагональю, через отрезки сторон большого параллелограмма.

Таким образом, если параллелограммы являются прямоугольниками, то параллельно перенеся две из трех рассматриваемых диагоналей, образуем из них треугольник, равный данному; а это означает, что углы между ними или равны соответствующим углам треугольника, или дополняют их до 180°, следовательно геометрическое место точек есть окружность, проходящая через середины сторон данного треугольника.

Требуется найти углы треугольника, если известно, что расстояние между центром описанной окружности и точкой пересечения высот вдвое меньше наибольшей стороны и равно наименьшей стороне.

Решение
Здесь для начала нужно просто доказать, что треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если расстояние между центром описанной окружности и точкой пересечения высот будет соответственно меньше, равно или больше половины наибольшей стороны. В итоге должен получиться следующий ответ 90°, 60° и 30°.

Внутри треугольника ABC через точку М проведены три прямые, которые параллельны сторонам треугольника. Отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны между собой. Требуется найти длины этих отрезков, если стороны треугольника равны a, b и с.

Решение
Здесь просто нужно доказать, что если через точку внутри треугольника проведены прямые, которые параллельны его сторонам, то сумма коэффициентов подобия отсекаемых треугольников по отношению к данному треугольнику будет равна 2.
В итоге получиться ответ 2abc/(ab+bc+ca)

В треугольнике ABC известны длины сторон: |АВ|=12, |ВС|=13, |СА| =15. На стороне АС существует точка М расположенная так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВМ и ВСМ равны. Найти отношение |AM|:|МС|.

Решение
Пусть | AM |: | МС | = к. Исходя из условия равенства радиусов окружностей, вписанных в треугольники АВМ и ВСМ, имеем, что их площади относятся, как периметры. Отсюда, поскольку отношение площадей равно к, получим |ВМ| =(13k-12)/(1-k). Из этого равенства,
следует, что 12/13 к<1.

Далее записываем для треугольников АВМ и ВСМ теоремы косинусов (относительно углов ВМА и ВМС) и исключаем из этих уравнений косинусы углов, получим для к квадратное уравнение с корнями 2/3 и 22/23. Учитывая ограничения для к, получаем ответ: к = 22/23.

В качестве разминки.
Доказать что если длины биссектрис треугольника меньше 1, то его площадь будет меньше (√3)/3.

По ходу решения рассмотрим два случая:
1. Наш треугольник ABC – остроугольный. Пусть угол при вершине B будет наибольший, тогда 60° ≤ B ≤ 90°. Так как по условию задачи биссектрисы углов при вершинах A и C меньше 1, то и высоты этих углов будут меньше 1. Таким образом имеем SABC= (h₁h₂)/2sinB <(√3)/3, где h₁и h₂высоты.

2. Если один из углов треугольника тупой, например B, то стороны, образующие этот угол меньше соответствующих биссектрис, а значит и меньше 1, а площадь тогда будет не более 1/2.

Совсем простенькая и коротенькая задачка. Нужно доказать, что если длины сторон треугольника связаны неравенством a² + b² > 5c², то с будет наименьшей стороной.

Для решения воспользуемся доказательством от противного.
Возьмем например, что с ≥ a, тогда 2с ≥ c + a > b. Возведем это неравенство в квадрат и сложим, в итоге получим 5c² > a² + b², а это противоречие.

Имеется треугольник ABC. D – произвольная точка на прямой BC. Прямые, проходящие через D параллельно AB и AC, пересекают AC и AB в точках Е и F. Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через точки D, Е и F.

Решение.
Тут уже без графики пожалуй не обойдемся. прийдется немного почертить.

Пусть B₀ и C₀ – середины сторон AC и AB соответственно. BB и CC₁высоты, K – середина DE, GK и C₀N перпендикулярны AB, а
B₀M перпендикулярна АС. Тогда имеем что (|ML|)/(|NM|)=(|GC₁|)/(|C₀C₁|)=(|KP|)/(|C₀C₁|)=(|DC|)/(|BC|).

Точно так же срединный перпендикуляр к DF пересекает MN в точке
L₁так что (|ML₁|)/(|NM|)=(|BD|)/(|BC|) что показывает что точки L и L₁совпадают. Следовательно искомым геометрическим местом точек является прямая MN.

В треугольнике ABC проведена высота BD и перпендикуляры AN к АВ, СМ к ВС, причем |AN| = |DC|, |CM| = |AD|. Нужно доказать что точки M и N равноудалены от вершины B.

Решаем
Все довольно просто. |MB|²=a² + c²cos²A = a² + c² – c²sin²A = a² + c² – a²sin²C = c² + a²cos²C = |NB|²