Оптимальные решения планиметрических задач

Даны две точки А и I. Найти геометрическое место точек В таких, что существует треугольник АВС с центром вписанного круга в точке I, все углы которого меньше 60° и одновременно больше 90°.

Решение

Если А, В, С – углы нашего треугольника АВС, то углы треугольника ABI равны A/2, B/2, 90° + C/2 (рис. 1).
Отсюда имеем, что искомое геометрическое место
точек – пара треугольников, две стороны которых – отрезки прямых, а третья – дуга, являющаяся частью сегмента, построенного на АI и вмещающего угол а/2.

Стороны данного треугольника являются диагоналями трех параллелограммов. Стороны этих параллелограммов параллельны двум прямым — l и р. Доказать, что три диагонали этих параллелограммов, отличные от сторон треугольника, пересекаются в одной точке М. Найти геометрическое место точек М, если l и р — две произвольные взаимно перпендикулярные прямые.

Решение

Объединение трех построенных параллелограммов представляет собой параллелограмм, описанный около данного треугольника, разделенный на четыре меньших. Нетрудно выразить отношения, в которых каждая из рассматриваемых диагоналей делится другой диагональю, через отрезки сторон большого параллелограмма.
Если параллелограммы являются прямоугольниками, то параллельно перенеся две из трех рассматриваемых диагоналей, образуем из них треугольник, равный данному; а это означает, что утлы между ними или равны соответствующим углам треугольника, или дополняют их до 180°.  Искомое геометричсское место точек есть окружность, проходящая через середины сторон данного треугольника.

Стороны некоего треугольника являются диагоналями трех параллелограммов. Стороны этих параллелограммов паралельны двум прямым l и p. Нужно доказать, что три диагонали этих параллелограммов, отличные от сторон треугольника, пересекаются в одной точке M. Найти геометрическое место точек M, если l и p – две произвольные взаимноперпендикулярные прямые.

решение

Объединение трех построенных параллелограммов представляет собой параллелограмм, описанный около данного треугольника, разделенный на четыре меньших. Нетрудно выразить отношения, в которых каждая из рассматриваемых диагоналей делится другой диагональю, через отрезки сторон большого параллелограмма.
Если параллелограммы являются прямоугольниками, то, параллельно перенеся две из трех рассматриваемых диагоналей, образуем из них треугольник, равный данному; а это означает, что углы между ними или равны соответствующим углам треугольника, или дополняют их до 180°. Искомое геометрическое место точек есть окружность, проходящая через середины сторон данного треугольника.

На плоскости данны два луча. Требуется найти геометрическое место точек плоскости, которые равноудаленны от этих лучей, принимая во внимание что расстояние от точки до луча равно расстоянию от этой точки до ближайшей к ней точке луча.

решение

Если предположить что концы лучей не совпадают, то геометрическое место точек будет состоять из частей следующих линий: биссектрис двух углов, образованных прямыми, содержащими данные лучи, срединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему клонцы лучей и двух парабол.
Если предположить что концы лучей совпадают, то геометрическое место точек будет состоять из биссектрисы угла, образованного лучами и части плоскости внутри угла, образованного перпендикулярами, восстановленными в концах лучей.