Оптимальные решения планиметрических задач

Исходный выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Требуется доказать, что прямая, которая соединяет центры тяжести двух противоположных треугольников, будет препендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других треугольников.

Решение

Середины сторон четырехугольника образуют параллелограмм, диагонали которого будут параллельны отрезкам, соединяющим центры тяжести противоположных треугольников. Другой параллелограмм, образуют четыре высоты,  исследуемых треугольников, выходящие из вершин четырехугольника. Стороны первого параллелограмма параллельны диагоналям четырехугольника, а второго им перпендикулярны. Кроме того, стороны второго параллелограмма в ctg α раз будут больше соответствующих сторон первого, α здесь это острый угол между диагоналями четырехугольника.

Имеется треугольник ОВС, где угол ВОС=α.  Для каждой точки А на стороне ВС определим определим точки M и N на сторонах OB и OC, таким образом что бы угол MAN=β и площадь четырехугольника OMAN была минимальной. Требуется доказать, что эта площадь будет максимальной для следующих точек – A, M, N при условии |MA|=|AN| и прямая MN паралельна BC.

Решение.

Для начала возьмем точку А, для которой выполняются условия задачи и любую другую точку А₁. Проведем через А₁ прямые, параллельные AM и AN и пересекающие стороны в точках M₁ и N₁ соответственно.  Далее убедимся что площадь четырехугольника OM₁A₁N₁ меньше площади OMAN и следовательно и площадь минимального четырехугольника соответствующего точке А₁ меньше площади OMAN – минимального четырехугольника соответствующего точке А.

Дан параллелограмм АВСD и окружность радиуса R, которая касается прямых АВ и АD, а прямую BD пересекает в точках М и N.

Требуется доказать возможность существования еще одной окружности, которая проходит через точки M и N, а также касающейся двух прямых CB и CD.

Рекомендации по решению.

Обозначим точки касания окружности с прямыми AB и AD как K и L соответственно.  На прямой CB возьмем точку P таким образом, что бы |BP|=|BK|, B между точками P и C,  еще одну точку Q возьмем на прямой CD , так что бы |DQ|=|DL|.  После этого имеем: |CP|=|CB|+|AB|-|AK|=|CQ|.  Окружность, которая проходит через точки P и Q и касается прямых CB и CD, пересчет BD в точках  M₁ и N₁, для которых будут выполняться следующие равенства |BM|x|BN|=|BM₁|x|BN₁| и |CN₁|x|CM₁|=|CN|x|CM| отсюда следует что M₁ и N ₁должны совпасть с M и N. Таким же образом рассмаириваются и другие случаи расположения точек.