Оптимальные решения планиметрических задач

В этой задаче требуется доказать, что четыре прямые, каждая из которых проходит через основания двух перпендикуляров, опущенных из вершины вписанного четырехугольника на не содержащие ее стороны, пересекаются в одной точке.

Решение.

Пусть АВСD – данный четырехугольник. Предположим, что углы А и D тупые, а В и С острые. Обозначим основания перпендикуляров, опущенных из вершины А, через М и N, а из вершины С через К и L (рис. 1), R – точка пересечения MN и LK.

Заметим что, точки A, K, N, C, L, M – лежат на одной окружности с диаметром AC. Покажем что MK||LN:MKL=MAL=90° – B=KCB=KLN. Таким образом  (|MR|)/(|RN|)=(|MK|)/(|LN|)=(sin⁡(MSK))/(sin⁡(LAN))=(sin⁡(C+B-90°))/(sin⁡(A+B-90°))=(cos⁡(A-B))/(sin⁡(A+B-90°))
Пусть теперь точки P и Q основания препендикуляров, опущенных из вершины B, а S точка пересечения MN и PQ (рис. 2)

Т.к. существует равенство углов PNB = PAB = C, то PN||DC, т.е. MQNP трапеция. Таким образом, (|MS|)/(|SN|)=(|MQ|)/(|PN|)=(|AB|cos⁡(A+D-180))/(|AB|sin⁡(B+A-90))=(cos⁡(A-B))/(sin⁡(A+B-90°)).

Итак, точки R и S делят MN в одном и том же отношении, т.е. они совпадают и значит все три прямые пересекаются в одной точке.