Оптимальные решения планиметрических задач

Пусть дан некий вписанный шестиугольник АВСDEF. Обозначим через К точку пересечения АС и ВF, а через L – точку пересечения СЕ и FD. Требуется доказать, что диагонали АD, ВЕ и прямая КL пересекаются в одной точке.

Решение.
Пусть М – точка пересечения AD и КL. Т.к. синусы вписанных углов пропорциональны хордам, имеем:
(|KM|)/(|ML|)=S_AKD/S_ALD =(1/2 |AK|•|AD|sinKAD)/(1/2 |DL|•|AD|sinADL)=(|AK|•|CD|)/(|DL|•|AF|

Точно также и для точки М₁ если она точка пересечения BE и KL получим
(|KМ₁|)/(|М₁L|)=(|BK|•|FE|)/(|LE|•|BC|)

Но, поскольку треугольники ▲AKF и ▲BKC подобны и точно также ▲CLD и ▲FLE получаем:
(|AK|)/(|AF|)=(|BK|)/(|BC|) и (|CD|)/(|DL|)=(|FE|)/(|LE|).

Перемножив данные равенства, получаем что (|KM|)/(|ML|)=(|KМ₁|)/(|М₁L|).
Cледовательно М и М₁ совпадают.