Оптимальные решения планиметрических задач

Имеем некий треугольник, стороны которого являются диагоналями трех параллелограммов. Стороны этих параллелограммов параллельны двум прямым l и р. Необходимо доказать, что три диагонали этих параллелограммов, отличные от сторон треугольника, пересекаются в одной точке М. Найти геометрическое место точек М, если l и p – две произвольные взаимно перпендикулярные прямые.

Решение
Объединение трех построенных параллелограммов будет предста
влять собой параллелограмм, описанный около данного треугольника,
разделенный на четыре меньших. Можно выразить отношения, в которых каждая из рассматриваемых диагоналей делится другой диагональю, через отрезки сторон большого параллелограмма.

Таким образом, если параллелограммы являются прямоугольниками, то параллельно перенеся две из трех рассматриваемых диагоналей, образуем из них треугольник, равный данному; а это означает, что углы между ними или равны соответствующим углам треугольника, или дополняют их до 180°, следовательно геометрическое место точек есть окружность, проходящая через середины сторон данного треугольника.

В выпуклом четырехугольнике проведены диагонали, которые разбивают его на четыре треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Доказать, что данный четырехугольник – ромб.

Решение
Вначале докажем, что диагонали данного четырехугольника делятся в точке пересечения пополам и наш четырехугольник является параллелограмм. Пусть ABCD – данный четырехугольник, О – точка пересечения диагоналей. Допустим, что |ВО| ˂ |OD|, |AО| ≤ |ОС|. Рассмотрим ▲OA₁B₁симметричный ▲OAB относительно
точки O; очевидно что радиус окружности, вписанной в первый треугольник, меньше радиуса окружности, вписанной в ▲OCD, а по условию они равны, значит точка О – середина обеих диагоналей. Далее докажем, что все стороны нашего четырехугольника равны. Воспользуемся формулой S = pr где S – площадь, р – полупериметр, r -радиус вписанной окружности треугольника.
Поскольку у ▲ABO и ▲BOC площади и радиусы вписанных окружностей равны, то значит равны и их периметры, т.е. |AB|=|BC|.