Оптимальные решения планиметрических задач

На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD взяты две точки М и N так, что |ВМ|+|BN|=|AB|. Нужно доказать, что прямые DM и DN делят диагональ АС на три отрезка, из которых можно сложить треугольник, причем один угол этого треугольника равен 60°.

Решение
Здесь все довольно просто.
Пусть |AM|=x, |CN|=у, х+у=а, где а- сторона квадрата.
Обозначим через Е и F точки пересечения MD и DN с АС. Отрезки |АЕ|, |EF| и |CF| легко можно вычислить через а, х, у, после чего можно
проверить равенство |EF|² = |АЕ|² + |FC|² – |АЕ|x|FC|.

Требуется найти углы треугольника, если известно, что расстояние между центром описанной окружности и точкой пересечения высот вдвое меньше наибольшей стороны и равно наименьшей стороне.

Решение
Здесь для начала нужно просто доказать, что треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если расстояние между центром описанной окружности и точкой пересечения высот будет соответственно меньше, равно или больше половины наибольшей стороны. В итоге должен получиться следующий ответ 90°, 60° и 30°.

Дана окружность с диаметром АВ. Вторая окружность с центром в А пересекает первую окружность в точках С и D и диаметр в точке Е. На дуге СЕ, не содержащей точки D, взята точка М, отличная от точек С и Е. Луч ВМ пересекает первую окружность в точке N. Известно, что отрезки |CN| = а, |DN|=b. Требуется найти отрезок |MN|.

Решение
Продолжим BN и CN до вторичного пересечения со второй
окружностью в точках К и L соответственно. |MN|=|NK|, так как
угол ANB = 90° и МК есть хорда окружности с центром в точке А. Т.к.
равны соответствующие дуги, то также будет присутствовать и равенство углов LNK=BNC=BND. Таким образом получаем
|LN|=|ND|=b, |MN|х|NK|=|MN|² ab, |MN|=√ab.

На боковых сторонах KL и MN равнобочной трапеции KLMN выбраны соответственно точки Р и Q так, что отрезок PQ параллелен основаниям трапеции. Известно также, что в каждую из полученных трапеций KPQN и PLMQ можно вписать окружность и радиусы этих окружностей равны R и r соответственно. Требуется определить основания |LM| и |KN|.

Решение
Опустим из центров окружностей перпендикуляры на одну из боковых сторон и проведем через центр меньшей окружности прямую, параллельную этой стороне. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой R + r, одним катетом R-r и острым углом при этом катете α, равным острому углу при основании трапеции. Таким образом, cosα=(R-r)/(R+r). Отсюда получаем что боснование равно 2Rctg(α/2)=2R√(R/r), а меньшее основание равно 2rtg(α/2)=2R√(r/R).

Имеются две окружности радиусов R и r по условию (R >r), есть внешнее касание в точке А. Через точку В, взятую на большей окружности, проведена прямая линия, касающаяся меньшей окружности в точке С. Требуется найти |ВС|, если |АВ|=а.

Решаем
Для начала проведем прямую ВА и обозначим через D вторую точку пересечения с меньшей окружностью. Рассмотрим дуги АВ и AD (меньшие, чем полуокружность). Поскольку общая касательная к окружностям в точке А образует с АВ и AD равные углы, то и центральные углы, соответствующие этим дугам будут равны. Следовательно,
(|AD|)/(|AB|) =r/R , |AD|=α r/R, |BC|=√(|BD|x|BA|)=α√((R+r)/R)

Данн параллелограмм с известной площадью S, в нем проведены биссектрисы его внутренних углов. Площадь четырехугольника, получившегося при их пересечении также известна и равна Q. Требуется найти отношение сторон параллелограмма.

Решение
Биссектрисы нашего параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагонали которого будут параллельны сторонам параллелограмма и равняться разности сторон параллелограмма. Следовательно, если а и b — стороны параллелограмма, α угол между
ними, то тогда площади S = аb sinα, Q =1/2 (a-b)^2 sinα, отношение площадей S/Q =2ab/(a-b)^2.
Получаем ответ (S+Q+√(Q^2+4QS))/S.

Внутри треугольника ABC через точку М проведены три прямые, которые параллельны сторонам треугольника. Отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны между собой. Требуется найти длины этих отрезков, если стороны треугольника равны a, b и с.

Решение
Здесь просто нужно доказать, что если через точку внутри треугольника проведены прямые, которые параллельны его сторонам, то сумма коэффициентов подобия отсекаемых треугольников по отношению к данному треугольнику будет равна 2.
В итоге получиться ответ 2abc/(ab+bc+ca)

В треугольнике ABC известны длины сторон: |АВ|=12, |ВС|=13, |СА| =15. На стороне АС существует точка М расположенная так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВМ и ВСМ равны. Найти отношение |AM|:|МС|.

Решение
Пусть | AM |: | МС | = к. Исходя из условия равенства радиусов окружностей, вписанных в треугольники АВМ и ВСМ, имеем, что их площади относятся, как периметры. Отсюда, поскольку отношение площадей равно к, получим |ВМ| =(13k-12)/(1-k). Из этого равенства,
следует, что 12/13 к<1.

Далее записываем для треугольников АВМ и ВСМ теоремы косинусов (относительно углов ВМА и ВМС) и исключаем из этих уравнений косинусы углов, получим для к квадратное уравнение с корнями 2/3 и 22/23. Учитывая ограничения для к, получаем ответ: к = 22/23.

Еще одна небольшая задачка на сообразительность. Требуется доказать, что если в выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется соотношение AB+CD=AD+BC , то тогда существует окружность, которая касается всех его сторон.

Решение
Для начала рассмотрим окружность, которая касается сторон AB, BC и CA. Если допустить что эта окружность не касается стороны DA, то тогда проведя касательную DА₁, получим ∆DA А₁, у которого одна сторона будет равна сумме двух других сторон.