Оптимальные решения планиметрических задач

В качестве разминки.
Доказать что если длины биссектрис треугольника меньше 1, то его площадь будет меньше (√3)/3.

По ходу решения рассмотрим два случая:
1. Наш треугольник ABC – остроугольный. Пусть угол при вершине B будет наибольший, тогда 60° ≤ B ≤ 90°. Так как по условию задачи биссектрисы углов при вершинах A и C меньше 1, то и высоты этих углов будут меньше 1. Таким образом имеем SABC= (h₁h₂)/2sinB <(√3)/3, где h₁и h₂высоты.

2. Если один из углов треугольника тупой, например B, то стороны, образующие этот угол меньше соответствующих биссектрис, а значит и меньше 1, а площадь тогда будет не более 1/2.

Доказать что описанный многоугольник, все стороны которого равны, является правильным, если число сторон нечетное.

Решение
Решение довольно простое, необходимо просто доказать что касательные к окружности, проведенные из вершин, между которыми расположенна одна вершина многоугольника, равны. И как следствие получим, что если у многоугольника число сторон нечетно, то точки касания есть не что иное как середины сторон.