Оптимальные решения планиметрических задач

Совсем простенькая и коротенькая задачка. Нужно доказать, что если длины сторон треугольника связаны неравенством a² + b² > 5c², то с будет наименьшей стороной.

Для решения воспользуемся доказательством от противного.
Возьмем например, что с ≥ a, тогда 2с ≥ c + a > b. Возведем это неравенство в квадрат и сложим, в итоге получим 5c² > a² + b², а это противоречие.

Пусть В и С – две фиксированные точки окружности, А -произвольная точка этой окружности; Н – точка пересечения высот треугольника ABC, точка М – проекция Н на биссектрису угла BAC. Найти геометрическое место точек М.

Решаем
Докажем, что (|AM|)/(|AD|)=|cosBAC|, где D – точка пересечения AM с окружностью.

Пусть точка О – центр окружности, P – середина ВС, К – середина AH. Треугольники DOA и MKA подобны. Следовательно, (|MA|)/(|AD|)=(|AK|)/(|DO|)=(|OP|)/(|OB|)=|cosBAC|. Интересующее нас геометрическое место точек состоит из двух дуг, принадлежащим двум различным окружностям.