Оптимальные решения планиметрических задач

Имеется треугольник ABC. D – произвольная точка на прямой BC. Прямые, проходящие через D параллельно AB и AC, пересекают AC и AB в точках Е и F. Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через точки D, Е и F.

Решение.
Тут уже без графики пожалуй не обойдемся. прийдется немного почертить.

Пусть B₀ и C₀ – середины сторон AC и AB соответственно. BB и CC₁высоты, K – середина DE, GK и C₀N перпендикулярны AB, а
B₀M перпендикулярна АС. Тогда имеем что (|ML|)/(|NM|)=(|GC₁|)/(|C₀C₁|)=(|KP|)/(|C₀C₁|)=(|DC|)/(|BC|).

Точно так же срединный перпендикуляр к DF пересекает MN в точке
L₁так что (|ML₁|)/(|NM|)=(|BD|)/(|BC|) что показывает что точки L и L₁совпадают. Следовательно искомым геометрическим местом точек является прямая MN.