Оптимальные решения планиметрических задач

Внутри треугольника взята точка M так, что существует некая прямая l, проходящая через М и разбивающая данный треугольник на две части таким образом, что при симметрии относительно точки l одна часть оказывается внутри или на границе другой. Найти геометрическое место точек M.

Решение
Заметим, что если через точку М проходит какая-либо прямая l, обладающая указанным в условии свойством, то существует либо прямая l₁проходящая через точку М и какую-либо вершину треугольника, или прямая l₂, проходящая через М перпендикулярно какой-либо стороне треугольника и обладающая этим же свойством. В самом деле. Пусть прямая l пересекает стороны АВ и СВ треугольника ABC в точках C₀ и A₀ и точка B₁симметричная В относительно l, внутри треугольника ABC. Будем вращать l вокруг М так, чтобы B₁приближалась по дуге соответствующей окружности к АВ или ВС до тех пор, пока точка C₀ или B₀ не совпадет с вершиной С или А или B₁не попадет на соответствующую сторону. Обозначим через α множество точек нашего треугольника, расположенных внутри четырехугольника, ограниченного биссектрисами к меньшей и большей стороне треугольника и перпендикулярами, восставленными к меньшей и большей стороне в их серединах. Если данный треугольник равнобедренный, то α – пусто. Во всех остальных случаях α – четырехугольник или пятиугольник. Таким образом искомое геометрическое место точек состоит из всех точек треугольника, исключая внутренние точки α.