Оптимальные решения планиметрических задач

В задаче требуется доказать, что треугольник будет остроугольным, пря-моугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли выражение a² + b² + c² – 8R² больше нуля, равно нулю или меньше нуля, где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанного круга.

Решение
Рассмотрим такой вариант, пусть с – наибольшая сторона, противолежащая вершине С.
Если a² + b² + c² – 8R² > 0, то a² + b² > 8R² – c² ≥ c² потому что с ≤ 2R таким образом треугольник остроугольный. Теперь обратно, пусть треугольник остроугольный; тогда a² + b² + c² = 2m² + 3/2 c², где m – медиана к стороне c, таким образом имеем, что чем меньше медиана, тем меньше a² + b² + c². Но, медиана принимает свое максимальное значение в том случае если C – середина дуги и будет уменьшаться при перемещении C по дуге. А когда треугольник стане прямоугольным то a² + b² + c² – 8R² будет равняться 0.
Что и требовалось доказать.