Оптимальные решения планиметрических задач

В треугольнике АВС АА₁ – высота, Н- точка пересечения высот. Пусть Р – произвольная точка окружности, описанной около треугольника АВС, М – точка на прямой НР такая, что |НР|х|НМ|=|НА₁|х|НА|, (точка Н лежит на отрезке МР если треугольник АВС – остроугольный и вне его,  если он – тупоугольный). Доказать, что М лежит на окружности девяти точек треугольника АВС.

Решение.
Пусть М₀ – середина НР, А₀ – середина НА. А₀, А₁ и М₀ лежат на окружноси девяти точек. Следовательно, М также лежит на этой окружности, поскольку из условия задачи следует равенство |М₀Н|х|НМ|=|А₀Н|х|НА₁| и Н одновременно или внутри или вне каждого из отрезков М₀М и А₀А₁.