Оптимальные решения планиметрических задач

Стороны данного треугольника являются диагоналями трех параллелограммов. Стороны этих параллелограммов параллельны двум прямым — l и р. Доказать, что три диагонали этих параллелограммов, отличные от сторон треугольника, пересекаются в одной точке М. Найти геометрическое место точек М, если l и р — две произвольные взаимно перпендикулярные прямые.

Решение

Объединение трех построенных параллелограммов представляет собой параллелограмм, описанный около данного треугольника, разделенный на четыре меньших. Нетрудно выразить отношения, в которых каждая из рассматриваемых диагоналей делится другой диагональю, через отрезки сторон большого параллелограмма.
Если параллелограммы являются прямоугольниками, то параллельно перенеся две из трех рассматриваемых диагоналей, образуем из них треугольник, равный данному; а это означает, что утлы между ними или равны соответствующим углам треугольника, или дополняют их до 180°.  Искомое геометричсское место точек есть окружность, проходящая через середины сторон данного треугольника.

В данном четырехугольнике проведены диагонали, разбивающие ео на 4 треугольника равного периметра. Требуется доказать, что данный четырехугольник – ромб.

Доказательство.
Для начала поробуем доказать, что диагонали делятся в точке пересечения пополам, т.е. что это параллелограмм. Обозначим наш четырехугольник как ABCD, О – точка пересечения диагоналей. Допустим что |BO|<|OD|, |AO|≤|OC|; рассмотрим треугольник OA₁B₁, симметричный OAB относительно точки О; очевидно, что радиус окружности, вписанной в OA₁B₁,  меньше радиуса окружности, вписанной в OCD, а по условию они равны. Следовательно О – середина обоих диагоналей. Теперь докажем что все стороны АВCD равны, для этого воспользуемся формулой S=pr, где S-площадь, p-полупериметр, r-радиус . Поскольку у ABO и BOC  площади и радиусы вписанных окружностей равны, то равны и их периметры, т.е. |AB|=|BC|

Имеется окружность с центром в точке О. На окружности есть некая точка С, М – делит отрезок ОС пополам. Точки А и В лежат на той же окружности по одну сторону от ОС таким образом, что угол АМО = углу ВМС. Требуется найти величину отрезка АВ, при условии что |АМ| – |ВМ| = α.

Решение.
Поскольку точки А, О, М, В лежат на одной окружности, угол АМВ измеряется полусуммой дуги АВ и дуги, симметричной АВ относительно ОС и следовательно угол АМВ равен углу АОВ. Отложим на АМ отрезок МК, равный МВ, тогда треугольник АКВ будет подобным ОМВ. Отсюда получаем что |АВ| = 2α.

Стороны некоего треугольника являются диагоналями трех параллелограммов. Стороны этих параллелограммов паралельны двум прямым l и p. Нужно доказать, что три диагонали этих параллелограммов, отличные от сторон треугольника, пересекаются в одной точке M. Найти геометрическое место точек M, если l и p – две произвольные взаимноперпендикулярные прямые.

решение

Объединение трех построенных параллелограммов представляет собой параллелограмм, описанный около данного треугольника, разделенный на четыре меньших. Нетрудно выразить отношения, в которых каждая из рассматриваемых диагоналей делится другой диагональю, через отрезки сторон большого параллелограмма.
Если параллелограммы являются прямоугольниками, то, параллельно перенеся две из трех рассматриваемых диагоналей, образуем из них треугольник, равный данному; а это означает, что углы между ними или равны соответствующим углам треугольника, или дополняют их до 180°. Искомое геометрическое место точек есть окружность, проходящая через середины сторон данного треугольника.

У произвольного треугольника ABC все углы меньше 120°.  Нужно доказать, что сумма расстояний от произвольной точки до вершин этого треугольника принимает наименьшее значение для такой точки внутри него, из которой каждая сторона треугольника видна под углом 120°.

Решение.

Допустим что некая точка М лежит внутри данного треугольника ABC. Повернем треугольник вокруг точки А на 60° во внешнюю по отношению к исходному треугольнику сторону. При этом точка С перейдет в С₁, а точка М в точку М₁. Сумма |AM|+|BM|+|CM|будет равно ломанной BMM₁C. Наименьшей же эта ломанная будет, когда точки М и М₁ лежат на отрезке ВС₁.

На плоскости взяты четыре произвольные точки A, B, C, D. Необходимо доказать, что четыре окружности, каждая из которых проходит через  точки, являющиеся серединами отрезков AB, AC и AD;  BA, BC, BD; CA, CB и CD; DA, DB и DC,  имеют общую точку.

Для решения воспользуемся общим утверждением, что если на сторонах треугольника построены окружности так, что их дуги, расположенные вне треугольника измеряются 4π или 2π, то эти окружности имеют общую точку.  Для нашей конкретной задачи можно взять треугольник с вершинами в серединах сторон треугольника ABC и доказать, что три окружности, проходящие, через середины AB, AC и AD; BA, BC и BD; СA, CB и CD имеют общую точку.