Оптимальные решения планиметрических задач

Исходный выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Требуется доказать, что прямая, которая соединяет центры тяжести двух противоположных треугольников, будет препендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других треугольников.

Решение

Середины сторон четырехугольника образуют параллелограмм, диагонали которого будут параллельны отрезкам, соединяющим центры тяжести противоположных треугольников. Другой параллелограмм, образуют четыре высоты,  исследуемых треугольников, выходящие из вершин четырехугольника. Стороны первого параллелограмма параллельны диагоналям четырехугольника, а второго им перпендикулярны. Кроме того, стороны второго параллелограмма в ctg α раз будут больше соответствующих сторон первого, α здесь это острый угол между диагоналями четырехугольника.

Данн треугольник АВС, через основания его биссектрис проведена окружность. Требуется доказать что одна из хорд, образованных при пересечении данной окружности со сторонами треугольника, равна сумме двух других.

Решение

Произведение длин отрезков от вершины А треугольника АВС до точек пересечения стороны АВ с данной окружностью будет равно такому же произведению для стороны АС.  Любой из этих отрезков можно выразить через стороны треугольника и хорды. В итоге получим систему из трех уравнений выражающую хорды ччерез стороны треугольника.

Имеется треугольник ОВС, где угол ВОС=α.  Для каждой точки А на стороне ВС определим определим точки M и N на сторонах OB и OC, таким образом что бы угол MAN=β и площадь четырехугольника OMAN была минимальной. Требуется доказать, что эта площадь будет максимальной для следующих точек – A, M, N при условии |MA|=|AN| и прямая MN паралельна BC.

Решение.

Для начала возьмем точку А, для которой выполняются условия задачи и любую другую точку А₁. Проведем через А₁ прямые, параллельные AM и AN и пересекающие стороны в точках M₁ и N₁ соответственно.  Далее убедимся что площадь четырехугольника OM₁A₁N₁ меньше площади OMAN и следовательно и площадь минимального четырехугольника соответствующего точке А₁ меньше площади OMAN – минимального четырехугольника соответствующего точке А.

Дана окружность с диаметром АВ,  хорда CD перпендикулярна диаметру. Также имеется произвольная окружность, которая касается хорды и дуги CBD. Требуется доказать, что касательная к этой окружности, проведенная из А, равна АС.

решение
Обозначим как О и О₁ центры наших окружностей, т.К – точка касания этих окружностей, т.N – точка касания окружности с центром О₁ с прямой CD, М – точка пересечения AB и CD. Исходя из того, что О1N параллельна АВ и два треугольника KO₁N и KOA подобные и равнобедренные, точки K, N и А лежат на одной прямой. Обозначим через t касательную к окружности О₁. Теперь t²=|AN|x|AK|=|AN|²+|AN|x|NK|=|AM|²+|MN|²+|CN|x|ND|=|AM|²+|MN|²+(|CM|-|MN|)(|CM|+|MN|)=|AM|²+|CM|²=|AK|²