Оптимальные решения планиметрических задач

В задаче требуется найти геометрическое место точек М, расположенных внутри треугольника таким образом что растояния от М до сторон труегольника равны сторонам другого треугольника.

Решение.

Из определения треугольника следует что для того чтобы расстояния х, у, z были сторонами треуголь­ника, необходимо выполнения неравенств x<y+z, y<x+z, z<x+y. Но, множество точек, для которых например x=y+z это отрезок с концами в основаниях биссектрис.  Отсюда получаем, что искомое геометрическое место состоит из точек, расположенных внутри треугольника с вершинами в основаниях биссектрис.

Сегодня прислали довольно интересную задачу. Ниже приведу условия, а ближе к вечеру подумаю над решением.

Данн треугольник, вписанный в окружность. Требуется доказать что радиус окружности, описанной около треугольника стороны кторого являются медианами некоего остроугольно треугольника, больше 5/6 радиуса окружности, описанной вокруг исходного треугольника.

Решение.

Исходя из того, что площадь треугольника, составленного из медиан другого треугольника,  составляет 3/4 площади исходного треугольни­ка, а для любого треугольника аЬс = 4RS, то нам нужно попытаться  доказать, что для остроугольного треугольника  будет справедливо следующее неравенство  

Для удобства вычислений, примем одну сторону, как 2d, а медиану к этой стороне как m.
Исходя из того что треугольник остроугольный, то имеем что m>d.
Обозначим как t косинус угла, образованного этой медианой со стороной 2d.
Следующим шагом выразим стороны и медианы через d, m, t и подставив полученные выражения в первое неравенство для остроугольного треугольника получим
Левую часть приведем к .
Если m>d то это выражение положительно.
Если m=d то левая часть будет больше или равна правой.
Если то правая часть неравенства отрицательна и оно (неравенство) будет выполняться.
Далее повторяем подобные действия и в отношении другой стороны треугольника и в итоге доказываем, что для любых остроугольных треугольников неравенство справедливо.

Данн треугольник  ABC с углом при вершине B 60°. Биссектриса угла при вершине А пересекает сторону BC в точке М. На стороне АС существует точка К, при этом угол AMK=30°.  требуется найти величину угла OKC, где точка О - это центр окружности, описанной около треугольника АВС.

решаем

Для начала докажем что биссектриса BD угла ANC и биссектриса AC угла BMD эквивалентны следующему равенству |AB|х|СD|=|AD|x|BC|. На дуге BAD возьмем точку А₁ таким образом что бы |DA₁|=|AB|. Условие задачи эквивалентно тому, что прямая A₁С проходит через середину ВD (точка N) т.е. равенству площадей треугольников DA₁C  и  A₁BC, следовательно |DA₁|x|DC|=|BA₁|x|BC|,  т.е. |AB|x|CD|=|AD|x|BC|

На плоскости данны два луча. Требуется найти геометрическое место точек плоскости, которые равноудаленны от этих лучей, принимая во внимание что расстояние от точки до луча равно расстоянию от этой точки до ближайшей к ней точке луча.

решение

Если предположить что концы лучей не совпадают, то геометрическое место точек будет состоять из частей следующих линий: биссектрис двух углов, образованных прямыми, содержащими данные лучи, срединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему клонцы лучей и двух парабол.
Если предположить что концы лучей совпадают, то геометрическое место точек будет состоять из биссектрисы угла, образованного лучами и части плоскости внутри угла, образованного перпендикулярами, восстановленными в концах лучей.

Дан параллелограмм АВСD и окружность радиуса R, которая касается прямых АВ и АD, а прямую BD пересекает в точках М и N.

Требуется доказать возможность существования еще одной окружности, которая проходит через точки M и N, а также касающейся двух прямых CB и CD.

Рекомендации по решению.

Обозначим точки касания окружности с прямыми AB и AD как K и L соответственно.  На прямой CB возьмем точку P таким образом, что бы |BP|=|BK|, B между точками P и C,  еще одну точку Q возьмем на прямой CD , так что бы |DQ|=|DL|.  После этого имеем: |CP|=|CB|+|AB|-|AK|=|CQ|.  Окружность, которая проходит через точки P и Q и касается прямых CB и CD, пересчет BD в точках  M₁ и N₁, для которых будут выполняться следующие равенства |BM|x|BN|=|BM₁|x|BN₁| и |CN₁|x|CM₁|=|CN|x|CM| отсюда следует что M₁ и N ₁должны совпасть с M и N. Таким же образом рассмаириваются и другие случаи расположения точек.

А вот и первая интерсная задачка:

Дан треугольник ABC, в него вписана окружность, которая делит медиану BM на три равные части. Нужно найти отношение отрезков |BC| : |CA| : |AB|

решаем:

Обозначим величину отрезков медианы как а, меньший из отрезков, на которые разделена сторона точкой касания соответствующей медиане обозначим как х. После этого все стороны нашего треугольника можно выразить через выше принятые переменные следующим образом:  стороны, заключающие медиану как  ,   третья сторона  
Теперь применям формулу для вычисления длины медианы и получаем на выходе     отсюда получаем что  и как результат искомое отношение 10:5:13